ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Klothoide</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Klothoide</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Klothoide, auch Klotoide (früher auch Clothoide<a href="#cite_note-1">[1]</a>; von <a href="Neugriechische_Sprache" title="Neugriechische Sprache">griechisch</a> κλώθω ‚spinnen‘, s. <a href="Klotho_(Mythologie)" title="Klotho (Mythologie)">Klotho (Mythologie)</a>), ist eine spezielle ebene <a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurve</a>. Sie ist in der Ebene bis auf <a href="%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)" title="Ähnlichkeit (Geometrie)">Ähnlichkeit</a> durch die Eigenschaft eindeutig bestimmt, dass die <a href="Kr%C3%BCmmung" title="Krümmung">Krümmung</a> an jeder Stelle der Kurve proportional zur <a href="L%C3%A4nge_(Mathematik)#Längen_von_Kurven" title="Länge (Mathematik)">Länge ihres Bogens</a> bis zu der Stelle ist. Andere Bezeichnungen für die Klothoide sind Cornu-Spirale (nach <a href="Alfred_Cornu" title="Alfred Cornu">Marie Alfred Cornu</a>) und Spinnkurve (da der <a href="Funktionsgraph" title="Funktionsgraph">Graph</a>, der von einem <a href="Asymptotischer_Punkt" title="Asymptotischer Punkt">Konvergenzpunkt</a> zum anderen läuft, einer Garnrolle ähnelt, die „umsponnen“ wird).

Die Klothoide wird als <a href="%C3%9Cbergangsbogen" title="Übergangsbogen">Übergangsbogen</a> bei Kurven im <a href="Stra%C3%9Fen-_und_Wegebau" title="Straßen- und Wegebau">Straßenbau</a> und im <a href="Eisenbahnbau" title="Eisenbahnbau">Eisenbahnbau</a> eingesetzt. Ihr <a href="Kr%C3%BCmmung" title="Krümmung">Krümmungs</a>verlauf nimmt linear zu, wodurch sich anstatt eines abrupten <a href="Ruck" title="Ruck">Rucks</a> ein allmählicher Beschleunigungs-Übergang von der Geradeausfahrt in die Kreisfahrt ergibt.

In den heutigen <a href="Trasse_(Verkehrsweg)" title="Trasse (Verkehrsweg)">Trassierungs</a>- und <a href="CAD" title="CAD">CAD</a>-Programmen ist die numerische Berechnung von Klothoiden in der <a href="Programmbibliothek" title="Programmbibliothek">Programmbibliothek</a> integriert und erfolgt automatisch.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Die Gleichungen der Klothoide wurden erstmals nachweislich 1694 von <a href="Jakob_I_Bernoulli" title="Jakob I Bernoulli">Jakob I Bernoulli</a> niedergeschrieben. Sie wurde aber von ihm weder gezeichnet noch <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerisch</a> berechnet.

Dies wurde 1743 von <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> gemacht, als er die Gleichungen bei der Untersuchung von spiralförmig aufgewickelten Sprungfedern wiederentdeckte.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Die Bestimmung der asymptotischen Endpunkte gelang ihm aber erst 1781. Im Jahr 1874 wurden die Gleichungen vom französischen Physiker Alfred Cornu nochmals unabhängig bei Beugungsberechnungen entdeckt und untersucht. In der angelsächsischen Literatur wird sie daher meist als Euler-(Cornu-)Spirale bezeichnet.

1937 wurde die Klothoide erstmals durch <a href="Leopold_Oerley" title="Leopold Oerley">Leopold Oerley</a> als Geometrieelement im Straßenbau eingesetzt,<a href="#cite_note-3">[3]</a> ab 1938 setzte der Autobahningenieur <a href="Hans_Lorenz_(Autobahningenieur)" title="Hans Lorenz (Autobahningenieur)">Hans Lorenz</a> sie bei der Planung der <a href="Reichsautobahn_Wien%E2%80%93Breslau" title="Reichsautobahn Wien–Breslau">Reichsautobahn Wien–Brünn–Breslau</a> konsequent ein. 1954 wurde die Klothoide mit einem umfassenden <a href="Tafelwerk_(Buch)" title="Tafelwerk (Buch)">Tafelwerk</a> (Kasper, Schürba, Lorenz: Die Klotoide als Trassierungselement, siehe <a href="#Literatur">Literatur</a>) für Trassierungs- und Absteckungsarbeiten allgemein zugänglich gemacht. In diesem Tafelwerk wird durchgängig Klotoide (ohne „h“) geschrieben. Auch die alten Ausgaben des <a href="Taschenbuch_der_Mathematik" title="Taschenbuch der Mathematik">Taschenbuches der Mathematik</a> (Bronstein-Semendjajew) bevorzugen diese Schreibweise. Die Schreibweise laut <a href="Duden" title="Duden">Duden</a> ist Klothoide.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Klothoidengleichung">Klothoidengleichung</h2></div>

Der <a href="Kr%C3%BCmmungsradius" class="mw-redirect" title="Krümmungsradius">Krümmungsradius</a> dieser Kurve ist bzw. soll sein: umgekehrt proportional zur Länge ihres Bogens, formal mit der Großbuchstabenkonvention in den Straßenbauernormen ausgedrückt:

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R={\frac {A^{2}}{L}},\quad L>0,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/385fb1d70a645c7f2237a741b1e8b9bc77a3ec45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.343ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle R={\frac {A^{2}}{L}},\quad L>0,}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> den Krümmungsradius, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> die Länge des Kurvenbogens vom festgewählten Kurvenausgangspunkt zum betrachteten Kurvenpunkt und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine beliebige, aber feste, positive, reelle Konstante bezeichnet. Diese Konstante wird als Klothoidenparameter bezeichnet.

Aus dieser Forderung folgt bereits eindeutig die Gleichung der Klothoide, wenn man einen Ausgangspunkt und eine Anfangssteigung vorgibt. Diese lautet in <a href="Parameterdarstellung" title="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</a> mit Ausgangspunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d630d3e781a53b0a3559ae7e5b45f9479a3141a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0)}" loading="lazy"> und Anfangssteigung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}|_{(0,0)}=0}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}|_{(0,0)}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/508b1a16a21b60cfce560d6332f58f90f24f7223.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:11.211ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}|_{(0,0)}=0}" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy"> parametrisiert:

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\binom {x}{y}}(l)=A{\sqrt {\pi }}\int _{0}^{l}{\binom {\cos({\frac {\pi \,t^{2}}{2}})}{\sin({\frac {\pi \,t^{2}}{2}})}}\ \mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81e57a19de92253f4be77ee2b5578b5c5fb417f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:33.968ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle {\binom {x}{y}}(l)=A{\sqrt {\pi }}\int _{0}^{l}{\binom {\cos({\frac {\pi \,t^{2}}{2}})}{\sin({\frac {\pi \,t^{2}}{2}})}}\ \mathrm {d} t}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=Al{\sqrt {\pi }}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=Al{\sqrt {\pi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7896dd2dabbc17eb496e1d8089db3fc332def97a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.386ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle L=Al{\sqrt {\pi }}}" loading="lazy"> dann die Länge der Kurve von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d630d3e781a53b0a3559ae7e5b45f9479a3141a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0)}" loading="lazy"> bis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x(l),y(l))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x(l),y(l))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1695502b7daf17d8d1ac88c73aed84dbfeaf587.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.334ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x(l),y(l))}" loading="lazy"> ist. Somit gilt für die Krümmung dieser Kurve

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa (l)={\frac {\sqrt {\pi }}{A}}l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18bc81f1395fc42dbbbe5e1654e70b9e1f415452.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:11.737ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \kappa (l)={\frac {\sqrt {\pi }}{A}}l}" loading="lazy">.</dd></dl>

Ferner besitzt sie die beiden asymptotischen Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \left(A{\frac {\sqrt {\pi }}{2}},A{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \left(A{\frac {\sqrt {\pi }}{2}},A{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5dbdebe1b190d98262db175792e06f7d23d70829.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.589ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \left(A{\frac {\sqrt {\pi }}{2}},A{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\right)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \left(-A{\frac {\sqrt {\pi }}{2}},-A{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \left(-A{\frac {\sqrt {\pi }}{2}},-A{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8a153d80a0f5d6b89af694e44dc8add8c9c2f8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.206ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \left(-A{\frac {\sqrt {\pi }}{2}},-A{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\right)}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einheitsklothoide">Einheitsklothoide</h2></div>

Die Einheitsklothoide ist eine Klothoide mit dem Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9c93fa532d5efee9437dc500521e334e7ea26a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.004ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A=1}" loading="lazy">. Die Grundgleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{2}=RL}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{2}=RL}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a00ccce9f3d02fe5c36de5a53254ed0323a8b765.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.243ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{2}=RL}" loading="lazy"> zeigt, dass der Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine kennzeichnende Größe ist. Die Einheitsklothoide wurde benutzt, um Tafeln für die Berechnung von Punkten auf der Klothoide aufzustellen, analog den Tafelwerken für Winkelfunktionen, denen der <a href="Einheitskreis" title="Einheitskreis">Einheitskreis</a> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/459c50749e4be896d8474f0cea4ebc26108c7024.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.025ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R=1}" loading="lazy"> zugrunde liegt. Die dort entnommenen Werte für die Koordinaten der Punkte auf der Klothoide werden mit dem gegebenen Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> multipliziert, da alle Klothoiden einander ähnlich sind und proportional vergrößert oder verkleinert werden können.

Bekannte, häufig benutzte Tabellenwerke waren (siehe auch <a href="#Literatur">Literatur</a>):

<ul><li>Die Klotoide als Trassierungselement von Kasper, Schürba, Lorenz</li>

<li>Klothoidentaschenbuch für Entwurf und Absteckung von Krenz, Osterloh</li></ul>

Bezeichnungen gem. Kasper, Schürba, Lorenz:

<table>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/803e00d943b9d3eafbf35bf9a2e1567475c50465.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\quad }" loading="lazy">

</td>

<td>Parameter der Klothoide

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5608a31f0a05333ecbfaf65d69c85052e22dafa4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.087ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R\quad }" loading="lazy">

</td>

<td>Krümmungsradius im betrachteten Endpunkt des Klothoidenabschnittes (also auch minimaler Krümmungsradius des Klothoidenausschnittes)

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43adc0024ad24841eb59a7785a50c209852d7059.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.905ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L\quad }" loading="lazy">

</td>

<td>Länge des Klothoidenabschnittes

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a68312779cf7e0e1b53c145a366624c3ac8bc345.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.959ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\quad }" loading="lazy">

</td>

<td><a href="Schnittwinkel_(Geometrie)" title="Schnittwinkel (Geometrie)">Schnittwinkel</a> der Tangenten im Anfangs- und Endpunkt im Bogenmaß

</td></tr></tbody></table>

Die Tabellenwerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> beziehen sich auf die <a href="Tangente" title="Tangente">Tangente</a> im <a href="Koordinatenursprung" class="mw-redirect" title="Koordinatenursprung">Ursprung</a> (der einzige Wendepunkt) der Klothoide (0,0) mit dem Krümmungsradius von „<a href="Unendlich" class="mw-redirect" title="Unendlich">Unendlich</a>“. Die X-Koordinate ist der Abschnitt auf dieser Tangente, die Y-Koordinate der orthogonale Abstand des Klothoidenpunktes von der Tangente. Eingangswert ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L/A}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L/A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f909af2b13faead791d1718935b3013589a2323.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.488ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L/A}" loading="lazy">.

Um Klothoidenberechnungen mit mechanischen Rechenmaschinen zu vereinfachen, die nur die vier <a href="Grundrechenart" title="Grundrechenart">Grundrechenarten</a> ermöglichten, wurden zusätzlich Spezialtafeln für häufig vorkommende Aufgaben beigefügt, um den Rechenaufwand in Grenzen zu halten.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Moderne_Berechnungsverfahren">Moderne Berechnungsverfahren</h2></div>

Heute sind für Klothoidenberechnungen weder Tafeln noch Näherungslösungen erforderlich. Für eine programmgesteuerte Berechnung sind Klothoiden besonders gut geeignet, da die Formeln einfach sind, wenig Programmieraufwand erfordern und ein sehr gutes Laufzeitverhalten haben. Wegen der sehr häufigen Verwendung der Klothoide bei der Trassierung von Verkehrswegen wird der Berechnungsablauf hierfür als Beispiel herangezogen.

Grundgleichungen:

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</msup>

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</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}A^{2}&=R\cdot L\\T&={\frac {L^{2}}{2A^{2}}}={\frac {L}{2R}}\\X&=\int _{0}^{L}\cos {\frac {L^{2}}{2A^{2}}}\ \mathrm {d} L\\Y&=\int _{0}^{L}\sin {\frac {L^{2}}{2A^{2}}}\ \mathrm {d} L\\\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2430d874411bbe32fd84e0af8833cae89c09cd83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -10.338ex; width:22.6ex; height:21.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}A^{2}&=R\cdot L\\T&={\frac {L^{2}}{2A^{2}}}={\frac {L}{2R}}\\X&=\int _{0}^{L}\cos {\frac {L^{2}}{2A^{2}}}\ \mathrm {d} L\\Y&=\int _{0}^{L}\sin {\frac {L^{2}}{2A^{2}}}\ \mathrm {d} L\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Zur Berechnung werden statt der Sinus- bzw. Cosinusfunktion deren Potenzreihenentwicklungen

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(T)&=\left(1-{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{4}}{4!}}-{\frac {T^{6}}{6!}}\pm \cdots \ \right)\\\sin(T)&=\left(T-{\frac {T^{3}}{3!}}+{\frac {T^{5}}{5!}}-{\frac {T^{7}}{7!}}\pm \cdots \ \right)\\\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/460a04d2d29a4ccc60ce5a8553056f8ca59aa89f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.838ex; width:41.348ex; height:12.676ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(T)&=\left(1-{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{4}}{4!}}-{\frac {T^{6}}{6!}}\pm \cdots \ \right)\\\sin(T)&=\left(T-{\frac {T^{3}}{3!}}+{\frac {T^{5}}{5!}}-{\frac {T^{7}}{7!}}\pm \cdots \ \right)\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

verwendet und integriert. Setzt man dann für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {L^{2}}{2A^{2}}}}">

<mfrac>

<msup>

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</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {L^{2}}{2A^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/514f4e61e5326dfb404a38019ad6f5e0cb40daf1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:3.722ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {L^{2}}{2A^{2}}}}" loading="lazy"> wieder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ein, erhält man für die Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> auf der Ursprungstangente folgende, sehr einfache <a href="Reihenentwicklung" title="Reihenentwicklung">Reihenentwicklungen</a>:

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

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</mrow>

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</mtr>

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<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}X&=L\cdot \left(1-{\frac {T^{2}}{2!\cdot 5}}+{\frac {T^{4}}{4!\cdot 9}}-{\frac {T^{6}}{6!\cdot 13}}\pm \cdots \right)\\Y&=L\cdot \left({\frac {T}{3}}-{\frac {T^{3}}{3!\cdot 7}}+{\frac {T^{5}}{5!\cdot 11}}-{\frac {T^{7}}{7!\cdot 15}}\pm \cdots \right)\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8fcbe40294afd89c9cbee358bc6336caf590c9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.838ex; width:47.856ex; height:12.676ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}X&=L\cdot \left(1-{\frac {T^{2}}{2!\cdot 5}}+{\frac {T^{4}}{4!\cdot 9}}-{\frac {T^{6}}{6!\cdot 13}}\pm \cdots \right)\\Y&=L\cdot \left({\frac {T}{3}}-{\frac {T^{3}}{3!\cdot 7}}+{\frac {T^{5}}{5!\cdot 11}}-{\frac {T^{7}}{7!\cdot 15}}\pm \cdots \right)\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Für den im Bereich von Trassierungsberechnungen genutzten Klothoidenabschnitt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {R}{3}}\leq A\leq R}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {R}{3}}\leq A\leq R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/699a1f8dcf917cd61e3109326ee71ab31b68a8d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:11.788ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {R}{3}}\leq A\leq R}" loading="lazy"> ist der Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> maximal 0,5. Um auch für seltene Sonderfälle gewappnet zu sein, sollte das Programm T-Werte bis π (3,14159) zulassen, damit der gleiche Drehwinkel (180°) wie in einem Halbkreis abgedeckt ist. Die Reihenglieder für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">konvergieren</a> schon nach wenigen Schritten gegen Null. Weil die <a href="Fakult%C3%A4t_(Mathematik)" title="Fakultät (Mathematik)">Fakultätsfunktion</a> im Nenner steht, wächst dessen Wert schnell. Bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T<1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c29444e67d764c9ae094b5469172c19b9bd704c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.897ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T<1}" loading="lazy"> nimmt der Wert des Zählers ab und beschleunigt zusätzlich die Berechnung. Die Genauigkeit der Berechnung lässt sich über einen Grenzwert, der zum Abbruch der Berechnung führt, steuern. Üblich ist eine Genauigkeit, die fünf gültige Nachkommastellen hat, wenn mit 8 Byte Datenbreite (<a href="Double_precision" class="mw-redirect" title="Double precision">double precision</a>) gerechnet wird. Für Grafikausgaben genügt eine Genauigkeit, die dem halben Pixeldurchmesser des Ausgabegerätes, multipliziert mit dem <a href="Kehrwert" title="Kehrwert">reziproken</a> Maßstabsfaktor, entspricht (Begründung: siehe <a href="Bresenham-Algorithmus" title="Bresenham-Algorithmus">Bresenham-Algorithmus</a>).

Um die lokalen Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> in das übergeordnete Bezugssystem zu überführen, ist abschließend eine einfache <a href="Koordinatentransformation" title="Koordinatentransformation">Transformation</a>, z. B. über bereits bekannte Koordinaten des Anfangs- und Endpunktes im Bezugssystem erforderlich. Die Berechnung von Klothoidenpunkten ist beim Einsatz von Computern heute genau so einfach, wie bei Punkten auf den Trassierungselementen Gerade und Kreisbogen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung_in_der_Optik">Anwendung in der Optik</h2></div>

Unter <a href="Beugung_(Physik)" title="Beugung (Physik)">Beugung</a> wird meist die <a href="Beugungsintegral" title="Beugungsintegral">Fraunhofersche Beugung</a> verstanden, bei der Strahlen aus dem Unendlichen (Parallelstrahlen) durch Linsen auf eine endliche Ebene abgebildet werden. Im Gegensatz dazu beschreibt die <a href="Beugungsintegral" title="Beugungsintegral">Fresnelsche Beugung</a> Beugungserscheinungen im Nahfeld. Beide Formen der Beugung sind zwei Grenzfälle des <a href="Beugungsintegral" title="Beugungsintegral">Kirchhoffschen Beugungsintegrals</a>. Beispielsweise beschreiben die Fresnelschen Integrale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{\lambda }(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{\lambda }(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4921e69c22fd96b4ddba2413fc0ebb1f661ae11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.754ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S_{\lambda }(x)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{\lambda }(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{\lambda }(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b668972298987840b85be8f1be30d238af6f166.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.991ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{\lambda }(x)}" loading="lazy"> die Intensität der Lichtverteilung hinter einer beleuchteten Kante mit einem beliebigen, reellen Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy">:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{\lambda }(x)=\int _{0}^{x}\sin(\lambda t^{2})\ \mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\lambda ^{2n+1}x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a724e7d54c8ebc1ca8a4e4988aef6729900b17ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:54.177ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle S_{\lambda }(x)=\int _{0}^{x}\sin(\lambda t^{2})\ \mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\lambda ^{2n+1}x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{\lambda }(x)=\int _{0}^{x}\cos(\lambda t^{2})\ \mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\lambda ^{2n}x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4b7daf18f4dab08cbcb26f834f81d4a229db79b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:50.666ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle C_{\lambda }(x)=\int _{0}^{x}\cos(\lambda t^{2})\ \mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\lambda ^{2n}x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition_der_Klothoide_mittels_Fresnelscher_Integrale">Definition der Klothoide mittels Fresnelscher Integrale</h2></div>

Zusammen ermöglichen die vorhergehenden beiden Gleichungen auch eine <a href="Parameterdarstellung" title="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</a>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}x(l)\\y(l)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{\lambda }(l)\\S_{\lambda }(l)\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a24e99845ee3f73758dc90687b55c379eb377340.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:20.631ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}x(l)\\y(l)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{\lambda }(l)\\S_{\lambda }(l)\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

einer Klothoide. Wählt man nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda ={\tfrac {\pi }{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda ={\tfrac {\pi }{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09f453504d03e2961ab426bc7006cc9fdf898fc1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:6.232ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda ={\tfrac {\pi }{2}}}" loading="lazy">, dann erhält man die Klothoide mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A={\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}}">

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dec4dfe49683b6bca3c391b4c4e6a03f902002c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:7.988ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle A={\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}}" loading="lazy">.

<ul><li>Die beiden <a href="Konvergenz_(Mathematik)" title="Konvergenz (Mathematik)">Konvergenz</a>punkte liegen bei den Koordinaten (z,z) und (−z,−z) mit</li></ul>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msqrt>

<mrow>

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</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=\int _{0}^{\infty }\cos(\lambda t^{2})\ \mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\sin(\lambda t^{2})\ \mathrm {d} t={\frac {\sqrt {2\pi |\lambda |}}{4{\sqrt {\lambda ^{2}}}}}={\sqrt {\frac {\pi }{8|\lambda |}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7787aed54fe82a66d342ac10e2b3e220422fc940.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:60.366ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle z=\int _{0}^{\infty }\cos(\lambda t^{2})\ \mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\sin(\lambda t^{2})\ \mathrm {d} t={\frac {\sqrt {2\pi |\lambda |}}{4{\sqrt {\lambda ^{2}}}}}={\sqrt {\frac {\pi }{8|\lambda |}}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

<ul><li>Die Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{\lambda }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{\lambda }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/baa209659a0691ab6442b0deb7da8798f1c63ebd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.773ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{\lambda }}" loading="lazy"> eines Kurvenbogens der Klothoide durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy"> parametrisiert und vom Ursprung aus gemessen, beträgt</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msqrt>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

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</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{\lambda }(l)=\int _{0}^{l}{\sqrt {S_{\lambda }'(t)^{2}+C_{\lambda }'(t)^{2}}}\ \mathrm {d} t=\int _{0}^{l}{\sqrt {\sin(\lambda t^{2})^{2}+\cos(\lambda t^{2})^{2}}}\ \mathrm {d} t=\int _{0}^{l}1\ \mathrm {d} t=l.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/625a810ca3f55873b0de80989f13882147b3afb5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:80.426ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle L_{\lambda }(l)=\int _{0}^{l}{\sqrt {S_{\lambda }'(t)^{2}+C_{\lambda }'(t)^{2}}}\ \mathrm {d} t=\int _{0}^{l}{\sqrt {\sin(\lambda t^{2})^{2}+\cos(\lambda t^{2})^{2}}}\ \mathrm {d} t=\int _{0}^{l}1\ \mathrm {d} t=l.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Kurvenlänge ist somit unbeschränkt. Und wir sehen, dass die <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometriker</a> die Klothoide so beschreiben, dass die Kurvenlänge stets gleich ihrem freien Parameter ist. Dies nennt man dann auch allgemein für beliebige stetige Kurven die natürliche Kurvenparametrisierung.

<ul><li>Die <a href="Kr%C3%BCmmung" title="Krümmung">Krümmung</a> (ihr Kehrwert ist der <a href="Kr%C3%BCmmungsradius" class="mw-redirect" title="Krümmungsradius">Krümmungsradius</a>) ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa (l)=2\lambda l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa (l)=2\lambda l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fc27c8324237413fa3caebbbecf9deefac8d223.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.151ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \kappa (l)=2\lambda l}" loading="lazy">, also proportional zur Länge des Kurvenbogens ab dem Punkt (0,0).</li></ul>

Ferner erkennen wir nun auch den Zusammenhang mit dem „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> der Straßenbauer“ zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ T={\frac {L}{2R}}={\frac {l}{2}}\kappa (l)=\lambda l^{2}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ T={\frac {L}{2R}}={\frac {l}{2}}\kappa (l)=\lambda l^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e72fd971cd838244a8776874e2828a6785bea9c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:24.218ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \ T={\frac {L}{2R}}={\frac {l}{2}}\kappa (l)=\lambda l^{2}}" loading="lazy">.

Wählt man für eine erste Approximation der Kurve im Ursprung nur das erste Glied ihrer Taylorreihe, so erhält man

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}x(l)\\y(l)\end{pmatrix}}\approx {\begin{pmatrix}l\\\lambda {\tfrac {l^{3}}{3}}\end{pmatrix}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86b25b72f4dee692d32613312880b9703c84959a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:19.696ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}x(l)\\y(l)\end{pmatrix}}\approx {\begin{pmatrix}l\\\lambda {\tfrac {l^{3}}{3}}\end{pmatrix}},}" loading="lazy"></dd></dl>

also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\approx {\frac {1}{3}}\lambda x^{3}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\approx {\frac {1}{3}}\lambda x^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb8f759f241cb50e9486d8df8f6d2be0f2b04434.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.992ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle y\approx {\frac {1}{3}}\lambda x^{3}}" loading="lazy">, was eine kubische Parabel darstellt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung_im_Verkehrswegebau">Anwendung im Verkehrswegebau</h2></div>

Im Verkehrswegebau wird bei der Berechnung der Linienführung einer Verkehrsachse die Klothoide als Übergangselement zwischen zwei Geraden, oder allgemein zwei Elementen mit konstanter aber unterschiedlicher Krümmung, eingesetzt. Sie kommt auf zahlreichen Teilabschnitten von Straßen- und Bahnstrecken zum Einsatz.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Klothoide_als_Trassierungselement">Klothoide als Trassierungselement</h3></div>

Zur Bemessung der <a href="Trassierungselement" title="Trassierungselement">Trassierungselemente</a> bei einer fahrdynamischen <a href="Trassierung" class="mw-redirect" title="Trassierung">Trassierung</a> von Verkehrswegen dient die <a href="Entwurfsgeschwindigkeit" class="mw-redirect" title="Entwurfsgeschwindigkeit">Entwurfsgeschwindigkeit</a>, aus der sich Mindestradien bzw. bei Klothoiden Mindestparameter ergeben. Die Entwurfsgeschwindigkeit ist unter anderem von der Bedeutung eines Verkehrsweges abhängig, also bei Fernverbindungen hoch und bei regionalen Verbindungen niedriger. Eine niedrige Entwurfsgeschwindigkeit erlaubt eine Trassenführung, die sich besser an die topografischen Verhältnisse anpassen lässt. Auch das Verkehrsaufkommen muss berücksichtigt werden. Innerörtliche Straßen werden dagegen in der Regel nicht fahrdynamisch trassiert, bzw. mit einer niedrigen Entwurfsgeschwindigkeit geplant.

Eine Trasse setzt sich einerseits aus Trassierungselementen mit konstanter Krümmung wie Geraden und Kreisbögen, andererseits aus Klothoiden als Übergangsbögen mit zu- und abnehmender Krümmung zusammen. Die Krümmung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{R}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{R}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57555d30f7052b139d6de77744c34c07ebb71c59.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.521ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{R}}}" loading="lazy"> wächst bzw. fällt linear mit der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> auf der Klothoide.

Für die Verwendung der Klothoide als Übergang zwischen Elementen mit konstanter Krümmung im Straßenbau spricht:

<ul><li>Bei einer Kurvenfahrt muss das Lenkrad gedreht werden, um das Fahrzeug in den Bogen einzulenken. Bei konstanter Fahrgeschwindigkeit und gleichmäßiger Zunahme des Lenkeinschlages bewegt sich das Fahrzeug auf einer Linie, die näherungsweise einer Klothoide entspricht. Durch die Klothoide als Übergangselement wird sichergestellt, dass der Fahrer nicht zu einem abrupten Lenkmanöver gezwungen wird, sondern die Querbeschleunigung linear wächst oder abnimmt.</li></ul>

<ul><li>Die <a href="Stra%C3%9Fenentw%C3%A4sserung" title="Straßenentwässerung">Entwässerung</a> der Fahrbahn bei Regen erfordert, dass die Fahrbahn in Querrichtung geneigt ist (<a href="Querneigung" title="Querneigung">Querneigung</a>), um <a href="Aquaplaning" title="Aquaplaning">Aquaplaning</a> zu verhindern. Eine Querneigung der Fahrbahn ist auch erforderlich, um die Querbeschleunigung auf ein annehmbares Maß zu begrenzen. Bei geneigter Fahrbahn wirkt die vertikale Erdbeschleunigungskomponente (9,81 m/s²) dagegen und die Kräfte werden besser in die Fahrbahn eingeleitet. Bei Kurven werden die Fahrbahnränder so um die Fahrbahnachse gedreht, dass der äußere Rand höher und der innere Rand tiefer als die Achse liegt. Diese „Verwindung“ der Fahrbahn um die Achse erfordert eine gewisse Übergangslänge. Die Klothoide als Übergangsbogen bei Krümmungswechseln stellt sicher, dass der Übergang innerhalb der Länge dieses Elements linear angelegt werden kann.</li></ul>

<ul><li>Die Klothoide verbessert die optische Linienführung einer Trasse. Der Fahrer eines Fahrzeuges nimmt die Fahrbahn aus einer Perspektive wahr, die in Fahrtrichtung gesehen zu einer starken Verkürzung der Längsentwicklung führt. Ohne Übergangsbogen wirkt ein Krümmungswechsel wie ein Knick in der Achse. Die Klothoide als Übergangsbogen sorgt dafür, dass eine Kurve besser wahrgenommen und somit richtig eingelenkt wird.</li></ul>

Bei Bahntrassen haben Übergangsbögen die gleichen Vorteile. Schienengebundene Fahrzeuge werden unter Zwang gesteuert und weisen nur eine sehr geringe Toleranz in Querrichtung auf. Ein Krümmungswechsel ohne Übergangsbogen erzeugt in diesem Fall eine sprunghafte Änderung der Querbeschleunigung, die sehr schnell als unangenehm empfunden wird. Erschwerend kommt hinzu, dass ein abrupter Krümmungswechsel erhöhten Verschleiß an den Schienen und den Radsätzen verursacht. Es gibt jedoch geringfügige Abweichungen gegenüber der Ausführung im Straßenbau:

<ul><li>Bei Schienen muss die Entwässerung des Fahrweges nicht berücksichtigt werden. In Geraden liegen beide Schienen auf gleicher Höhe. In Kurven wird in Deutschland nur die äußere Schiene angehoben, um der Querbeschleunigung entgegenzuwirken. Diese Form der Ausführung wird als „<a href="%C3%9Cberh%C3%B6hung" title="Überhöhung">Überhöhung</a>“ bezeichnet. Der Übergangsbogen sorgt dafür, dass die Überhöhung innerhalb seiner Länge linear ausgeführt werden kann.</li></ul>

<ul><li>Im Eisenbahnbau werden bei konventionellen Geschwindigkeiten (< 160 km/h) nach wie vor auch kubische Parabeln (<a href="Blossbogen" title="Blossbogen">Blossbögen</a>) als Übergangsbögen verwendet, die im Nahbereich des Ursprungs einen der Klothoide ähnlichen Verlauf haben.</li></ul>

Bei <a href="Achterbahn" title="Achterbahn">Achterbahnen</a>, ebenfalls schienengebundene Fahrzeuge, werden Klothoiden eingesetzt, um die Passagiere nicht durch starke Querbeschleunigungen zu belasten. Im Fall der Achterbahn ist die Geschwindigkeit in jedem Abschnitt der Trasse mit geringen Abweichungen bekannt; somit können die einwirkenden Querkräfte durch eine angepasste Überhöhung der Kurven fast ganz eliminiert werden. Voraussetzung dafür sind Übergangsbögen.

Bei Liftstützen von Seilbahnanlagen werden die Rollenbatterien auch oft in Klothoidenform gebaut, um den Fahrgästen der Liftanlage ein höheres Maß an Komfort zu bieten.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Berechnung_einer_Achse_mit_Klothoiden_als_Übergangselementen">Berechnung einer Achse mit Klothoiden als Übergangselementen</h3></div>

Um die Lage der Achse eines Verkehrsweges zu definieren, wird zweistufig gearbeitet:

<ul><li>Während der Entwurfsplanung wird die Achse in ihren Hauptelementen bestimmt (Achshauptpunktberechnung). Ergebnis ist eine Achse, die in den Planungskorridor passt und den Entwurfsrichtlinien (Entwurfsgeschwindigkeit usw.) entspricht. Die Länge der Achse ergibt sich aus der Summe der Längen der Achselemente. Jedem Hauptpunkt der Achse wird eine „Station“ zugewiesen, die summierten Längen vom Achsanfang bis zum jeweiligen Hauptpunkt. Die „Stationierung“ der Elemente (von Station / bis Station) schafft eine eindeutige Zuordnung innerhalb der Achse.</li></ul>

<ul><li>Zur Bauausführung wird im Zuge der Ausführungsplanung die Punktfolge auf der Achse soweit verdichtet, dass eine planungsgemäße Absteckung und Bauausführung gewährleistet ist (Achskleinpunktberechnung).</li></ul>

Die Bestimmung der Lage einer Klothoide als Achselement im Bezugskoordinatensystem erfolgt während der Achshauptpunktberechnung. Bei Klothoiden sind Randbedingungen zu beachten. Der einfachste Fall, die Elementfolge Gerade – Klothoide – Kreisbogen – Klothoide – Gerade, soll hierzu als Beispiel dienen:

<ul><li>Der Mittelpunkt des Kreisbogens liegt nicht mehr im Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> (Radius) senkrecht zu der Geraden. Durch die Klothoiden wird eine Abrückung des Bogens von der Geraden verursacht, die mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> bezeichnet wird. Der Abstand des Kreismittelpunktes ist also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R+D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R+D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b99e96a3d1952ec43426f039196f1ab5a35b69f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.529ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R+D}" loading="lazy">. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> ergibt sich aus dem Endpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X_{E},Y_{E})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X_{E},Y_{E})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e693548f20c090d16b07c4968cee61175b054d50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.094ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X_{E},Y_{E})}" loading="lazy"> der Klothoide über die Mittelpunktskoordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X_{M},Y_{M})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X_{M},Y_{M})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30275ebe31f0edf0ceeeae9373d6c212db8c88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.036ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X_{M},Y_{M})}" loading="lazy"> des Kreisbogens, bezogen auf die Ursprungstangente der Klothoide:</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{M}=X_{E}-R\cdot \sin T\qquad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed7988537d3d8da929436dfa2e227b88b064489e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.202ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{M}=X_{E}-R\cdot \sin T\qquad }" loading="lazy">

</td>

<td>Abstand vom Ursprung der Klothoiden

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{M}=Y_{E}+R\cdot \cos T\qquad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1618f22bddebe75f8f33f0a372b5f36aec3fc961.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.31ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{M}=Y_{E}+R\cdot \cos T\qquad }" loading="lazy">

</td>

<td>orthogonaler Abstand von der Ursprungstangente

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=Y_{M}-R\qquad \qquad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c56b40d639c06dc19e43f75d70b948c14126fc66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.227ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D=Y_{M}-R\qquad \qquad }" loading="lazy">

</td>

<td>Abrückung von der Ursprungstangente

</td></tr></tbody></table></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Der Schnittwinkel der beiden Geraden muss größer sein als die Summe der Drehwinkel beider Klothoiden. Die Parameter im Straßenbau variieren im Bereich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {R}{3}}\leq A\leq R}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {R}{3}}\leq A\leq R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/699a1f8dcf917cd61e3109326ee71ab31b68a8d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:11.788ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {R}{3}}\leq A\leq R}" loading="lazy">. Minimal sind bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {R}{3}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {R}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b12839d09fb3597f1257db50900e305090fdd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.083ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {R}{3}}}" loading="lazy"> pro Klothoide 3,54 gon bzw. 3,18° erforderlich, maximal erfordert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ce0a385b1df3b753fc0a66dbf2c9a6373e784a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.606ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A=R}" loading="lazy"> je Klothoide 31,83 gon bzw. 28.65°. Ist der Schnittwinkel kleiner, kommt es zu Überschneidungen im Bereich des Kreisbogens. Erfüllt der Schnittwinkel genau die Mindestbedingungen für die Drehwinkel der beiden Klothoiden, ist die Länge des Kreisbogens Null. Man spricht dann von einer Scheitelklothoide. Diese Konstruktion sollte bei der Trassierung vermieden werden.</li></ul>

<ul><li>Der Endpunkt der Anfangsgeraden bzw. der Anfangspunkt der Endgeraden ergibt sich aus dem Lotfußpunkt des Kreismittelpunktes auf der Geraden – in diesem Fall identisch mit der Ursprungstangente – abzüglich des Abstandes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{M}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{M}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b59ec19a1559419e06498a8c0c37a0c2e37dddd0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.883ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{M}}" loading="lazy">. Auch in diesem Fall kann es zu Überschneidungen mit benachbarten Elementen kommen, die an beide Geraden anschließen.</li></ul>

Im Falle von Übergängen zwischen zwei Kreisbögen wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> über die Berechnung des Abstandes der beiden Kreismittelpunkte ermittelt, wobei zwei Fälle zu unterscheiden sind:

<ul><li>Die Verbindung von Kreisbögen mit gegenläufiger Krümmung erzeugt eine <a href="Wendeklothoide" title="Wendeklothoide">Wendeklothoide</a> mit zwei Ästen. Die Parameter der beiden Klothoidenäste können unterschiedlich sein, sie haben jedoch immer einen gemeinsamen Ursprung mit gleicher Tangentensteigung.</li></ul>

<ul><li>Die Verbindung von gleichsinnig gekrümmten Kreisbögen erzeugt eine <a href="Eiklothoide" title="Eiklothoide">Eiklothoide</a>, also einen Klothoidenabschnitt, der mit dem Radius des ersten Kreisbogens beginnt und mit dem Radius des zweiten Kreisbogens endet. In diesem Fall liegt der Ursprung der Klothoide nicht auf der Achse.</li></ul>

Werden bei der Berechnung der Grundelemente Gerade und Kreisbogen die Abstände <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> in Abhängigkeit von den Klothoidenparametern berücksichtigt, lassen sich die Klothoiden anschließend über einfache Transformationen passgenau einfügen.

Bei Klothoiden muss jedoch berücksichtigt werden, dass sie bei Achsverschiebungen nicht parallel versetzt werden können, wie das bei Geraden und Kreisbögen jederzeit möglich ist. Eine Parameteränderung erzeugt keine Linie, die den Bedingungen der Parallelität streng entspricht. Allerdings sind die Abweichungen bei kurzen Klothoidenabschnitten, wie sie bei der Trassierung vorwiegend verwendet werden, regelmäßig so klein, dass der Fehlbetrag im Rahmen der Bautoleranz liegt. Dies muss jedoch immer rechnerisch überprüft und gegebenenfalls durch eine Hilfskonstruktion behoben werden.

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output div.klappleiste{border:1px solid var(--dewiki-rahmenfarbe1);clear:both;font-size:95%;box-sizing:border-box;margin-top:1.5em;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste:after{clear:both;content:"";display:block}.mw-parser-output div.klappleiste-bild{float:left;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste-kopf{background:var(--dewiki-hintergrundfarbe5);color:var(--color-base,#202122);text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output div.klappleiste.mw-collapsed .klappleiste-bild{display:none}.mw-parser-output div.klappleiste+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+link+div.klappleiste{margin-top:-1px}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>

<div class="klappleiste-kopf">Anwendungsmöglichkeiten der <a class="mw-selflink selflink">Klothoide</a> bei der Trassierung</div>

<a href="C-Klothoide" title="C-Klothoide">C-Klothoide</a> |

<a href="Eiklothoide" title="Eiklothoide">Eiklothoide</a> |

<a href="Korbklothoide" title="Korbklothoide">Korbklothoide</a> |

<a href="Scheitelklothoide" title="Scheitelklothoide">Scheitelklothoide</a> |

<a href="Verbundkurve" title="Verbundkurve">Verbundkurve</a> |

<a href="Wendeklothoide" title="Wendeklothoide">Wendeklothoide</a>

</div></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kennstellen_der_Klothoide_und_Einsatzgrenzen">Kennstellen der Klothoide und Einsatzgrenzen</h3></div>

Alle Klothoiden besitzen eine geometrische Ähnlichkeit, wodurch an einer bestimmten Formstelle einer Klothoide immer der gleiche Richtungswinkel und der gleiche Verhältniswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R/A}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R/A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f4726ff2ae24c183855f7561b6aa992e411a0b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.67ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R/A}" loading="lazy"> auftritt. Bestimmte ganzzahlige Verhältniswerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R/A}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R/A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f4726ff2ae24c183855f7561b6aa992e411a0b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.67ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R/A}" loading="lazy"> (mit Ausnahme des Wertes 1,5) werden als Kennstellen der Klothoide bezeichnet. So nennt man beispielsweise die Stelle, bei der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R=L=A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R=L=A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d495160f5a17898a1997190faa258bcc7a804284.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.287ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R=L=A}" loading="lazy"> ist, als Kennstelle 1.

Bei der Verwendung der Klothoide in der Trassierung muss beachtet werden, dass es gewisse Einsatzgrenzen für Klothoiden gibt. So sollte aus fahrdynamischen Gründen eine Klothoide nur zwischen den Kennstellen 3 und 1 verwendet werden. Wählt man eine größere Kennstelle als 3, ist die Richtungsänderung zum Beginn der Klothoide zu gering und der Fahrzeugführer lenkt eventuell zu spät ein. Bei der Verwendung einer Kennstelle kleiner als 1 entsteht die Gefahr, dass der Fahrzeugführer dem Kurvenverlauf nicht mehr folgen kann und von der Fahrbahn abkommt (Prinzip der <a href="Hundekurve" title="Hundekurve">Hundekurve</a>). Aus diesen Überlegungen heraus ergeben sich folgende Formeln für die Einsatzgrenzen der Klothoide:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {R}{3}}\qquad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82c54cfb63cc6baa65a4a557dac0c9a07a5af98c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.087ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {R}{3}}\qquad }" loading="lazy">

</td>

<td>Minimalwert für Klothoidenparameter

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=R\qquad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac5c9452cadeab6ee8b38751aae82e63e874818d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.251ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A=R\qquad }" loading="lazy">

</td>

<td>Maximalwert für Klothoidenparameter

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeichnerische_Darstellung_einer_Achse">Zeichnerische Darstellung einer Achse</h3></div>

<a href="Lageplan_(Verkehrsweg)" title="Lageplan (Verkehrsweg)">Lageplan</a> und <a href="H%C3%B6henplan" title="Höhenplan">Höhenplan</a> sind die wichtigsten Planunterlagen, um eine Trasse darzustellen. Da auch der Krümmungsverlauf für viele planerische Entscheidungen sehr wichtig ist, wird er im Höhenplan unterhalb der Höhendarstellung als <a href="Kr%C3%BCmmungsband" title="Krümmungsband">Krümmungsband</a> dargestellt.

Die waagrechte Achse des Krümmungsbandes entspricht wie bei der Höhendarstellung (<a href="Gradiente" title="Gradiente">Gradiente</a>) der Achslänge. Gemäß ihrer Station (s. o.) werden auf dieser Achse die Elemente aufgetragen. Die Krümmung einer Geraden ist Null und liegt auf der Achse. Kreisbögen haben eine konstante Krümmung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{R}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{R}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d340a7fccdab627a728b6e63574ad9074fa397a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.083ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{R}}}" loading="lazy">, ihre Krümmungslinie liegt bei Rechtsbögen (positiver Radius) oberhalb und bei Linksbögen (negativer Radius) unterhalb der Achse. Je nach Platz auf dem Plan und der Größe der Radien wird die Krümmung der Achselemente mit einem konstanten Faktor multipliziert, der so gewählt wird, dass sich eine übersichtliche Darstellung ergibt. Die Krümmungslinie wird in dem so ermittelten Abstand zur Achse gezeichnet. Klothoiden, deren Krümmung mit der Länge des Elementes linear zu- oder abnimmt, bilden im Krümmungsband die schrägen Rampen zwischen den Elementen Gerade und Kreisbogen.

Aus dem Krümmungsband kann man die „<a href="Kurvigkeit" title="Kurvigkeit">Kurvigkeit</a>“ erkennen, also den Krümmungsverlauf im Zuge einer Achse. Parallel und unterhalb des Krümmungsbandes wird die Querneigung der Fahrbahn als Querneigungsband dargestellt. Die Querneigung, die wegen der Querbeschleunigung vom Radius eines Elementes abhängig ist, lässt sich auf diese Weise übersichtlich planen und darstellen. Querneigungswechsel liegen regelmäßig innerhalb der Klothoidenabschnitte, sie müssen jedoch unter entwässerungstechnischen Aspekten auch sehr genau mit der Gradiente abgestimmt werden, damit eine funktionierende Entwässerung der Fahrbahn gewährleistet ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Günter Weise, Walter Durth u. a.: <cite style="font-style:italic">Straßenbau Planung und Entwurf</cite>. Verlag für Bauwesen, Berlin 1997, ISBN 3-345-00579-4.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Klothoide&rft.au=G%C3%BCnter+Weise%2C+Walter+Durth+u.+a.&rft.btitle=Stra%C3%9Fenbau+Planung+und+Entwurf&rft.date=1997&rft.genre=book&rft.isbn=3345005794&rft.place=Berlin&rft.pub=Verlag+f%C3%BCr+Bauwesen" style="display:none"> </li>

<li>Hugo Kasper, Walter Schürba, Hans Lorenz: <cite style="font-style:italic">Die Klotoide als Trassierungselement</cite>. Ferd. Dümmlers Verlag, Bonn 1954, <a href="Deutsche_Nationalbibliothek" title="Deutsche Nationalbibliothek">DNB</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.dnb.de/opac.htm?referrer=Wikipedia&method=simpleSearch&cqlMode=true&query=idn%3D452330076">452330076</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Klothoide&rft.au=Hugo+Kasper%2C+Walter+Sch%C3%BCrba%2C+Hans+Lorenz&rft.btitle=Die+Klotoide+als+Trassierungselement&rft.date=1954&rft.genre=book&rft.place=Bonn&rft.pub=Ferd.+D%C3%BCmmlers+Verlag" style="display:none"> </li>

<li>Günter Wolf: <cite style="font-style:italic">Straßenplanung</cite>. Werner Verlag, 2005, ISBN 3-8041-5003-9.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Klothoide&rft.au=G%C3%BCnter+Wolf&rft.btitle=Stra%C3%9Fenplanung&rft.date=2005&rft.genre=book&rft.isbn=3804150039&rft.pub=Werner+Verlag" style="display:none"> </li>

<li>Alfred Krenz, Horst Osterloh: <cite style="font-style:italic">Klothoiden-Taschenbuch für Entwurf und Absteckung</cite>. 14. Aufl., 48.−50. Tsd. Bauverlag, Wiesbaden, Berlin 1981, ISBN 3-7625-1273-6.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Klothoide&rft.au=Alfred+Krenz%2C+Horst+Osterloh&rft.btitle=Klothoiden-Taschenbuch+f%C3%BCr+Entwurf+und+Absteckung&rft.date=1981&rft.edition=14.+Aufl.%2C+48.%E2%88%9250.+Tsd.&rft.genre=book&rft.isbn=3762512736&rft.place=Wiesbaden%2C+Berlin&rft.pub=Bauverlag" style="display:none"> </li>

<li>E. Bachmann: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=geo-004:1951:49::591">Die Klothoide als Übergangskurve im Strassenbau</a>. Schweizerische Zeitschrift für Vermessung, Kulturtechnik und Photogrammetrie, Band 49, Heft 6, 1951</li>

<li>D. S. Meek, D. J. Walton: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://core.ac.uk/download/pdf/82246923.pdf">The use of Cornu spirals in drawing planar curves of controlled curvature</a>. Journal of Computational and Applied Mathematics, Band 25, 1989, S. 69–78</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Euler_spirals?uselang=de">Commons: Euler spirals</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Klothoide" class="extiw external" title="wikt:Klothoide">Wiktionary: Klothoide</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hinterseher.de/Diplomarbeit/Geometrie-Elemente.html#Klotoide">Streckenplanung</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.s21-modellgleis.de/index.php?seite=fdynamik">Fahrdynamik</a></li>

<li>Ulrich Mende: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.mathe-gut-erklaert.de/pdfs/000_Klothoide.pdf">Die Klothoide – und warum Straßenkurven keine Kreisbögen sind</a></li>

<li>R. Levien: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www2.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2008/EECS-2008-111.pdf">The Euler spiral: a mathematical history</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathcurve.com/courbes2d.gb/cornu/cornu.shtml">CORNU SPIRAL OR CLOTHOID</a> auf matcurves.com</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Freiherr von Röll: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.zeno.org/nid/20011428902">Übergangsbogen.</a> In: zeno.org. Röll: Enzyklopädie des Eisenbahnwesens, 1912, abgerufen am 20. Januar 2025.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AKlothoide&rft.title=%C3%9Cbergangsbogen&rft.description=%C3%9Cbergangsbogen&rft.identifier=http%3A%2F%2Fwww.zeno.org%2Fnid%2F20011428902&rft.creator=Freiherr+von+R%C3%B6ll&rft.publisher=R%C3%B6ll%3A+Enzyklop%C3%A4die+des+Eisenbahnwesens&rft.date=1912&rft.language=de">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a href="Raymond_Clare_Archibald" title="Raymond Clare Archibald">Raymond Clare Archibald</a>: Euler Integrals and Euler’s Spiral–Sometimes called Fresnel Integrals and the Clothoide or Cornu’s Spiral. In: American Math Monthly. Volume 25, 1918, S. 276–282 <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.glassblower.info/Euler-Spiral/AMM/AMM-1918.HTML">(online).</a>

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Michael Hinterseher: <cite style="font-style:italic">Entwicklung von Konzepten, Algorithmen und Optimierungsverfahren zur Transformation von Knoten in einem Netzwerk unter Beachtung von Integritätsbedingungen</cite>. München 1999, Kap. 1.1: Historischer Hintergrund (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hinterseher.de/Diplomarbeit/Einleitung.html">online</a> [abgerufen am 7. Januar 2013]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Klothoide&rft.atitle=Kap.+1.1%3A+Historischer+Hintergrund&rft.au=Michael+Hinterseher&rft.btitle=Entwicklung+von+Konzepten%2C+Algorithmen+und+Optimierungsverfahren+zur+Transformation+von+Knoten+in+einem+Netzwerk+unter+Beachtung+von+Integrit%C3%A4tsbedingungen&rft.date=1999&rft.genre=bookitem&rft.place=M%C3%BCnchen" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

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